Analyse à l’ELUIntroductionSection circulaireNotationsGéométrieEffortsContraintesDéformationsPrincipe de calcul à l’ELUHypothèses de calculGénération du diagramme d’interactionCalcul des efforts résistantsEffort résistant du bétonEffort résistant de l’acierRépartition discrète des barres d’acierRépartition continue et homogène de la section d’acierCalcul du taux de mobilisation de la résistance en flexionSection rectangulaireNotationsGéométrieEffortsContraintesDéformationsPrincipe du calcul à l’ELUHypothèses de calculModes de fonctionnement de la sectionSection partiellement compriméeSection entièrement compriméeSection entièrement tendueCalcul des sections d’armature nécessairesSection partiellement compriméeSection entièrement compriméeSection en traction simpleBibliographie
Ce document détaille comment l’analyse à l’ELU est mené pour les sections circulaires et pour les sections rectangulaires en béton armé.
Ce chapitre détaille le calcul d’une section circulaire en béton armé soumise à la flexion déviée (ELU).
Symbol | Unité | Description |
---|---|---|
D ou B | m | Diamètre de la section |
Symbol | Unité | Description |
---|---|---|
MN | Effort normal appliqué sur la section béton armé | |
MNm | Moment fléchissant appliqué sur la section béton armé autour du semi-axe positive OX | |
MNm | Moment fléchissant appliqué sur la section béton armé autour du semi-axe positive OY | |
MN | Effort tranchant appliqué sur la section béton armé suivant le semi-axe positive OX | |
MN | Effort tranchant appliqué sur la section béton armé suivant le semi-axe positive OY |
La règle de la main droite s’applique :
Symbol | Unité | Description |
---|---|---|
MPa | Contrainte dans les aciers (barre “i”) | |
MPa | Contrainte de compression dans le béton | |
MPa | Contrainte admissible de compression du béton (valeur de calcul) | |
MPa | Contrainte admissible de compression du béton (valeur caractéristique) | |
MPa | Contrainte admissible de l’acier (valeur de calcul) | |
MPa | Contrainte admissible de l’acier (valeur caractéristique) |
Symbol | Unité | Description |
---|---|---|
- | Déformation de la section d’acier | |
- | Déformation du béton | |
- | Déformation élastique maximale de l’acier |
Le principe de calcul des sections circulaires (pieux) à l’ELU consiste à confronter le torseur résultant appliqué sur la section au diagramme d’interaction (N, M) de la section béton armé.
Ce diagramme d’interaction détermine le domaine admissible (zone intérieure du diagramme d’interaction, y compris la frontière) dans lequel se situent les couples (N, M) qui peuvent être repris par la section circulaire en béton armé.
Le calcul à l’ELU des sections en béton armé tient en compte des hypothèses suivantes :
Les lois de comportement du béton et de l’acier sont fournis dans le chapitre Matériaux de ce manuel.
Les niveaux de déformation de calcul (
Le principe de génération des diagrammes d’interaction se base sur le balayage de tous les modes de flexion possibles de la section. Dans un but d’optimisation du travail de la section, ce balayage est fait en s’appuyant sur les pivots usuels A, B et C. L’éventail des régions possibles sont décrits comme suit :
L’effort résistant de la section est calculé pour chaque diagramme de déformation. Il est composé d’une partie provenant de l’acier et une autre partie provenant du béton (uniquement s’il est comprimé, l’apport en traction est négligé).
L’effort apporté par le béton est comptabilisé sur la base de la loi parabole-rectangle.
Efforts résistants sur la partie “rectangle” :
Effort normal résistant :
Moment résistant :
Efforts résistants sur la partie “parabole” :
Effort normal résistant :
Moment résistant :
L’effort apporté par l’acier est comptabilisé sur la base de la loi bilinéaire.
Pour chaque barre de section
Le taux de mobilisation de la résistance en flexion est le rapport entre le moment résistant et celui appliqué pour un même effort normal. Il est déduit du diagramme de déformation calculé pour la section examiné.
Ce chapitre détaille le calcul d’une section rectangulaire en béton armé soumise à la flexion composée (ELU).
Symbol | Unité | Description |
---|---|---|
b | m | Largeur de la section |
h | m | Hauteur totale de la section |
d | m | Hauteur effective de la section |
m | Distance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers tendus | |
m | Distance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers comprimés | |
x | m | Position de l’axe neutre depuis la fibre la plus comprimée |
m² | Section d’acier tendue | |
m² | Section d’acier comprimée | |
m | Bras de levier associé à |
Symbol | Unité | Description |
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MN | Effort normal appliqué sur la section béton armé | |
MNm | Moment fléchissant appliqué sur la section béton armé (au niveau de l’armature inf.) | |
MNm | Moment fléchissant reprit par le béton seul | |
MN | Effort normal repris par le béton seul | |
MN | Effort repris par l’armatures tendue | |
MN | Effort repris par l’armatures comprimée | |
MNm | Moment résistant de la section béton armé au-delà duquel il convient de disposer une armature comprimée pour faire travailler correctement l’armature tendue | |
MN | Effort normal repris par le béton associé à |
Symbol | Unité | Description |
---|---|---|
MPa | Contrainte dans les aciers tendus | |
MPa | Contrainte dans les aciers comprimés | |
MPa | Contrainte de compression dans le béton | |
MPa | Contrainte admissible de compression du béton (valeur de calcul) | |
MPa | Contrainte admissible de compression du béton (valeur caractéristique) | |
MPa | Contrainte admissible de l’acier (valeur de calcul) | |
MPa | Contrainte admissible de l’acier (valeur caractéristique) |
Symbol | Unité | Description |
---|---|---|
- | Déformation de la section d’acier tendue | |
- | Déformation de la section d’acier comprimée | |
- | Déformation du béton | |
- | Déformation élastique maximale de l’acier |
Le principe de dimensionnement d’une section à l’ELU est basé sur une analyse en déformations.
Le calcul à l’ELU des sections en béton armé tient en compte des hypothèses suivantes :
Les lois de comportement du béton et de l’acier sont fournis dans le chapitre Matériaux de ce manuel.
Le dimensionnement optimisé d’une section béton armé exige un diagramme de déformations qui passe par une déformation limite, soit du béton, soit de l’acier. Ces déformations limites sont caractérisées par les pivots.
Trois pivots permettent de différencier le mode de fonctionnement de la section:
Notons
Si le diagramme passe au même temps par les pivots A et B, alors:
Les diagramme de déformations de la section peut se retrouver dans un des trois domaines définis par les pivots:
En fonction de la position de l’axe neutre, 2 cas sont possibles :
Le diagramme de déformations de la section se trouve dans le domaine 2.
Le raccourcissement de la fibre la plus comprimée est
Le diagramme de contraintes comporte deux parties: une partie droite sur une hauteur égale à
Cette répartition des hauteurs provient de l’allure de la loi de comportement du béton. Le diagramme de déformations étant linéaire sur la hauteur comprimée:
- Les déformations du béton supérieures à 2‰ engendrent une contrainte égale à
. - Les déformations du béton inférieures à 2‰ suivent une distribution parabolique de contraintes variant entre 0 et
. 2‰ correspond à la déformation maximale du domaine élastique, soit
de la hauteur comprimée.
Effort normal et moment repris par le béton :
La relation entre
Le diagramme de déformations de la section se trouve dans le domaine 1.
Le raccourcissement de la fibre la plus comprimée est inférieur à 3.5 ‰ et le diagramme peut avoir l’un des deux formes indiquées ci-dessous.
Dans ce cas :
Pour une valeur de x comprise entre 0 et 0.072d, la valeur du bras de levier des efforts
La section de béton étant surabondante, il est inutile d’établir une armature comprimée.
Nous constatons que la variation relative du bras de levier est très faible et qu’il n’est pas nécessaire d’évaluer x avec grande précision, ce qui autorise l’emploi des relations
Le diagramme de déformations de la section se trouve dans le domaine 3 et passe par le pivot C.
Le diagramme de contraintes est composé d’une droite sur une hauteur totale égale à
L’état d’équilibre de la section est obtenu à partir de l’équilibre de forces et moments, permettant d’obtenir le diagramme de déformations associé au torseur appliqué.
Le diagramme de déformations ne provoque aucune compression sur la section, l’apport du béton en traction est donc négligé. Les efforts dans les armatures sont les seuls à équilibrer les efforts extérieurs.
La formulation retenue dans Scage consiste à proposer une solution voisine de la solution la plus économique. Nous n’établirons pas, en principe, une armature si sa déformation relative est inférieure à la déformation élastique
Une section est partiellement comprimée si les efforts N et M (calculé au niveau de l’armature inférieure) aboutissent à un diagramme de déformations composé d’une partie en compression et en traction.
Notons
Dans ce cas, pas nécessité d’armature comprimée car le moment est équilibré par le béton tout seul.
L’armature inférieure est tendue avec un allongement supérieur à
Le calcul d’équilibre permet de retrouver la section d’acier nécessaire en partie inférieure.
Dans ce cas, il convient de prévoir une armature comprimée pour garantir que l’armature tendue est bien utilisée et que la contrainte de béton n’excède pas la contrainte admissible.
Le calcul d’équilibre conduit aux sections d’acier nécessaires de chaque côté pour garantir que les efforts agissants sont correctement repris.
Une section est entièrement comprimée si les efforts N et M (calculé au niveau de l’armature inférieure) engendrent un diagramme de déformations purement en compression (aucune zone en traction). Dans ce cas là, le diagramme de déformations passe par le point C.
Si la section comporte deux armatures, l’armature inférieure est la moins bien utilisée des deux puisqu’elle a le plus faible raccourcissement relatif. De ce fait, on cherchera à équilibrer les efforts sans établir d’armature inférieure.
Le calcul d’équilibre conduit aux sections d’acier nécessaires pour garantir que les efforts agissants sont correctement repris par les aciers et le béton.
La résistance en traction du béton est négligée. Seules les efforts des armatures compensent les efforts appliqués sur la section. La solution la plus économique consiste à garantir le centre de gravité des armatures au point d’application de l’effort normal.
Notons:
Les des sections d’acier sont obtenues par équilibre de moments:
Les contraintes dans les aciers sont considérées égales à