Analyse à l’ELS

Introduction

Ce document détaille comment l’analyse à l’ELS est mené pour les sections circulaires et pour les sections rectangulaires en béton armé.

 

Section circulaire

Ce chapitre détaille le calcul d’une section circulaire en béton armé soumise à la flexion déviée (ELS).

Notations

Géométrie

SymbolUnitéDescription
D ou BmDiamètre de la section

 

Efforts

SymbolUnitéDescription
NMNEffort normal appliqué au centre de gravité de la section
MMNmMoment fléchissant appliqué au centre de gravité de la section

Contraintes

SymbolUnitéDescription
σsMPaContrainte dans les aciers
σcMPaContrainte de compression dans le béton
fckMPaContrainte admissible de compression du béton (valeur caractéristique)
fydMPaContrainte admissible de l’acier (valeur de calcul)
fykMPaContrainte admissible de l’acier (valeur caractéristique)

Principe de calcul à l’ELS

Hypothèses de calcul

Le calcul à l’ELS des sections en béton armé tient en compte des hypothèses suivantes :

Les lois de comportement du béton et de l’acier sont fournies dans le chapitre Matériaux de ce manuel.

 

Vérification de la section béton armé à l’ELS

La vérification de la section béton armé à l’ELS se réalise en homogénéisant la section afin de prendre en compte la présence de deux matériaux de rigidités différentes. L’équilibre de la section est basé sur l’équilibre de forces et de moments, ce qui permet de retrouver le diagramme de contraintes de la section.

Dans le cas d’une section entièrement tendue, le béton n’apporte aucune résistance en traction. Les efforts des armatures sont les seuls à équilibrer les efforts extérieurs.

 

Génération du diagramme d’interaction

Le principe de génération des diagrammes d’interaction se base sur le balayage de tous les modes de flexion possibles de la section. Dans un but d’optimisation du travail de la section, ce balayage est fait en s’appuyant sur les contraintes limites de l’acier (pivot A) et du béton (pivot B) à l’ELS. Le diagramme de contraintes est homogénéisé pour tenir compte des modules de déformation différents de l’acier et du béton.

SLS SectionSection circulaire - SLS - 2 regions

 

Calcul des efforts résistants

Chaque diagramme de contraintes homogénéisées est décrit par l’équation suivante :

(1)σc(y)=ay+b
(2)σc(φ)=aRcosφ+b

Où a représente la pente et b l’ordonnée à l’origine.

Effort résistant du béton
(3)Nc=0xσc(φ)b(φ)dy
(4)Mc=0xσc(φ)b(φ)ydy
Effort résistant de l’acier
Répartition discrète des barres d’acier

Pour chaque barre de section Ai :

(5)σi=nσhomogénéisée

Où n est le coefficient d’équivalence : n=Es/Ec

(6)Fi=σiAi

Force résultante sur l’ensemble des barres d’acier :

(7)Ns=iFi

 

Répartition continue et homogène de la section d’acier
(8)Ns,rectangulaire=2φ1φ2fyasrsdφ
(9)Ms,rectangulaire=2φ1φ2fyasrsrscosφdφ
(10)Ns,triangulaire=2φ2φ3σs,i(φ)asrsdφ
(11)Ms,triangulaire=2φ2φ3σs,i(φ)asrsrscos(φ)dφ

 

Calcul du taux de mobilisation de la résistance en flexion

Le taux de mobilisation de la résistance en flexion est le rapport entre le moment résistant et celui appliqué pour un même effort normal. Il est déduit du diagramme de déformation calculé pour la section examiné.

 

Contraintes limites à l’ELS exigées par la norme NF P 94-262

Scage permet de respecter les deux contraintes limites exigées par la norme NF P 94-262 :

image-20221103184325409

Section rectangulaire

Ce chapitre détaille le calcul d’une section rectangulaire en béton armé soumise à la flexion composée (ELS).

Notations

Géométrie

SymbolUnitéDescription
bmLargeur de la section
hmHauteur totale de la section
As1Section d’acier inférieure
As2Section d’acier supérieure
c1mDistance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers inférieurs
c2mDistance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers supérieurs
d2mPosition des armatures As2 par rapport à la fibre inférieure de la section
vmPosition de G’ par rapport à la fibre inférieure de la section
G-Centre de gravité de la section rectangulaire
G’-Centre de gravité de la section homogénéisée

 

Efforts

SymbolUnitéDescription
NsMNEffort normal appliqué à G
MsMNmMoment fléchissant appliqué à G
MMNmMoment fléchissant équivalent appliqué sur la fibre inférieure inférieure de la section
NMNEffort normal équivalent appliqué sur la fibre inférieure inférieure de la section
MMNmMoment fléchissant équivalent appliqué à G’
NMNEffort normal équivalent appliqué à G’
Fs1MNEffort repris par l’armatures tendue
Fs2MNEffort repris par l’armatures comprimée

Contraintes

SymbolUnitéDescription
σs1MPaContrainte dans les aciers tendus
σs2MPaContrainte dans les aciers comprimés
σcMPaContrainte de compression dans le béton
fckMPaContrainte admissible de compression du béton (valeur caractéristique)
fydMPaContrainte admissible de l’acier (valeur de calcul)
fykMPaContrainte admissible de l’acier (valeur caractéristique)

Principe du calcul à l’ELS

Le principe de vérification d’une section à l’ELS est basé sur une analyse en contraintes.

Cette analyse en contraintes exige un calcul en section homogénéisée afin de considérer les différents modules de déformation de l’acier et du béton.

Hypothèses de calcul

Le calcul à l’ELS des sections en béton armé tient en compte des hypothèses suivantes :

Les lois de comportement du béton et de l’acier sont fournies dans le chapitre Matériaux de ce manuel.

 

Modes de fonctionnement de la section

En fonction du diagramme de contraintes généré par le torseur extérieur (Ms, Ns), la section béton armé peut être en :

Diagramme de contraintes d'une section en compression simple

Diagramme de contraintes d'une section entièrement comprimée

Diagramme de contraintes d'une section entièrement tendue

Vérification de la section béton armé à l’ELS

La vérification de la section béton armé à l’ELS se réalise en homogénéisant la section afin de prendre en compte la présence de deux matériaux de rigidités différentes. L’équilibre de la section est basé sur l’équilibre de forces et de moments, ce qui permet de retrouver le diagramme de contraintes de la section.

Dans le cas d’une section entièrement tendue, le béton n’apporte aucune résistance en traction. Les efforts des armatures sont les seuls à équilibrer les efforts extérieurs.

Calcul des sections d’armature nécessaires

Partiellement et entièrement comprimée

Le principe de dimensionnement à l’ELS consiste à chercher la section minimale vérifiant l’équilibre de la section tout en garantissant le non dépassement des contraintes limites de chaque matériau.

Traction simple

En traction simple, la résistance en traction du béton est négligée. Seules les efforts des armatures compensent les efforts appliqués sur la section. La solution la plus économique consiste à garantir le centre de gravité des armatures au point d’application de l’effort normal.

Notons:

Les des sections d’acier sont obtenues par équilibre de moments:

(12)As2=Nes1(es1+es2)σs2
(13)As1=Nes2(es1+es2)σs1

Les contraintes dans les aciers sont considérées égales à la contrainte admissible à l’ELS.

 

Ouverture de fissures (wk)

(14)wk=sr,max(εsmεcm)
TermeUnitéDescription
wkmmOuverture de fissures
sr,maxmmEspacement maximal des fissures
εsm-Allongement moyen des armatures, sous la combinaison d’actions considérée, tenant compte de la contribution du béton tendu
εcm-Allongement moyen du béton entre les fissures
(15)sr,max=k3c+0.425k1k2ϕeqρp,eff
TermeUnitéDescription
cmmEnrobage des armatures longitudinales
k1-Coefficient fonction des propriétés adhérence des barres
(0.8 pour les barres HA)
k2-Coefficient tenant compte de a distribution des barre longitudinales
k2=0.5 en flexion
k2=1 en traction
k2=ε1+ε22ε1 en traction excentrée
Avec ε1 le plus grandet et ε2 le plus faible des allongements relatifs des fibres extrêmes la section considérée, évalués sur la base d’une section fissuré.
k3-Coefficient d’accompagnement de l’enrobage, égale à 3.4
ϕeqmmDiamètre équivalent des barres
ρp,eff-Ratio entre la section acier et la section de béton effective (As/Ac,eff)
Ac,effAire de béton entourant l’armature tendue sur une hauteur
hc,ef=min{2.5(hd);(hx)/3;h/2}
(16)εsmεcm=max{0.6σsEs;σs+ktfct,effρp,eff(1+αeρp,eff)Es}
TermeUnitéDescription
σsMPaContrainte à l’ELS des armatures tendues, calculée en supposant la section fisurée
EsMPaModule élastique de l’acier
fct,effMPaValeur moyenne de la résistance à la traction du béton effective au moment où les fissures sont censées se produire (fct,eff=fctm)
kt-Coefficient tenant compte de la durée du chargement
kt=0.6 pour un chargement de courte durée
kt=0.4 pour un chargement de longue durée

 

Cas particulier des sections circulaires

Le cas des sections circulaires n’est pas traité dans l’Eurocode 2 - Partie 1.1. Le Guide d’application de l’Eurocode 2 (FD P18-717) fait quelques propositions qui sont résumées ci-dessous dès lors qu’il y a au moins 6 barres longitudinales, ce qui es usuellement le cas dans les situations courantes.

Dans de cadre de la vérification de l’ouverture des fissures, la section circulaire est assimilée à une section rectangulaire équivalente des dimensions :

avec D étant le diamètre du pieu et d la hauteur utile de la section.

La hauteur de béton comprimé est calculée avec la section circulaire.

Seules les armatures en traction à l’intérieur de cette section équivalente sont comptabilisées dans le terme Asl.

L’aire de béton entourant les armatures tendues (zone bleu clair) est assimilée à un segment de secteur circulaire d’angle central « beta » et de hauteur de hc,eff = min[ 2.5(D-d) ; (D-x)/3 ; D/2) ].

Circular section - Crack opening check

Bibliographie