Analyse à l’ELU

Introduction

Ce document détaille comment l’analyse à l’ELU est mené pour les sections circulaires et pour les sections rectangulaires en béton armé.

 

Section circulaire

Ce chapitre détaille le calcul d’une section circulaire en béton armé soumise à la flexion déviée (ELU).

Notations

Géométrie

SymbolUnitéDescription
D ou BmDiamètre de la section

Efforts

SymbolUnitéDescription
NMNEffort normal appliqué sur la section béton armé
MxMNmMoment fléchissant appliqué sur la section béton armé autour du semi-axe positive OX
MyMNmMoment fléchissant appliqué sur la section béton armé autour du semi-axe positive OY
VxMNEffort tranchant appliqué sur la section béton armé suivant le semi-axe positive OX
VyMNEffort tranchant appliqué sur la section béton armé suivant le semi-axe positive OY

La règle de la main droite s’applique :

Section circulaire - Bending moment signs

Zones comprimées par des moments Mx et My positifs

Contraintes

SymbolUnitéDescription
σs,iMPaContrainte dans les aciers (barre “i”)
σcMPaContrainte de compression dans le béton
fcdMPaContrainte admissible de compression du béton (valeur de calcul)
fckMPaContrainte admissible de compression du béton (valeur caractéristique)
fydMPaContrainte admissible de l’acier (valeur de calcul)
fykMPaContrainte admissible de l’acier (valeur caractéristique)

 

Déformations

SymbolUnitéDescription
εs-Déformation de la section d’acier
εc-Déformation du béton
εe-Déformation élastique maximale de l’acier

Principe de calcul à l’ELU

Le principe de calcul des sections circulaires (pieux) à l’ELU consiste à confronter le torseur résultant appliqué sur la section au diagramme d’interaction (N, M) de la section béton armé.

Ce diagramme d’interaction détermine le domaine admissible (zone intérieure du diagramme d’interaction, y compris la frontière) dans lequel se situent les couples (N, M) qui peuvent être repris par la section circulaire en béton armé.

 

Hypothèses de calcul

Le calcul à l’ELU des sections en béton armé tient en compte des hypothèses suivantes :

Les lois de comportement du béton et de l’acier sont fournis dans le chapitre Matériaux de ce manuel.

Les niveaux de déformation de calcul (ε) de chaque matériau, en particulier du béton (εc) et de l’acier (εs), sont définis par l’utilisateur et donc fixés avant de constituer les diagrammes d’interaction.

 

Génération du diagramme d’interaction

Le principe de génération des diagrammes d’interaction se base sur le balayage de tous les modes de flexion possibles de la section. Dans un but d’optimisation du travail de la section, ce balayage est fait en s’appuyant sur les pivots usuels A, B et C. L’éventail des régions possibles sont décrits comme suit :

Section circulaire - 5 regions

5 régions de flexion de la section à l'ELU

 

Calcul des efforts résistants

L’effort résistant de la section est calculé pour chaque diagramme de déformation. Il est composé d’une partie provenant de l’acier et une autre partie provenant du béton (uniquement s’il est comprimé, l’apport en traction est négligé).

Schema section circulaire ELU

Effort résistant du béton

L’effort apporté par le béton est comptabilisé sur la base de la loi parabole-rectangle.

(1){σc=(εc0.25εc2)fc0<εc<2σc=fc2εc3.5
Effort résistant de l’acier

L’effort apporté par l’acier est comptabilisé sur la base de la loi bilinéaire.

(6){σs=Esεs0<εs<εeσs=σyεe<εsεud
Répartition discrète des barres d’acier

Pour chaque barre de section Ai :

(7)σi=σ(εi)
(8)Fi=σiAi
(9)Ns=iFi
Répartition continue et homogène de la section d’acier

ULS Steel Strains and Stress - Continuous Steel Ring

as représente la densité linéaire de section d’acier

(10)Ns,rectangulaire=2φ1φ2fyasrsdφ
(11)Ms,rectangulaire=2φ1φ2fyasrsrscosφdφ
(12)Ns,triangulaire=2φ2φ3σs,i(φ)asrsdφ
(13)Ms,triangulaire=2φ2φ3σs,i(φ)asrsrscos(φ)dφ

 

Calcul du taux de mobilisation de la résistance en flexion

Le taux de mobilisation de la résistance en flexion est le rapport entre le moment résistant et celui appliqué pour un même effort normal. Il est déduit du diagramme de déformation calculé pour la section examiné.

 

Section rectangulaire

Ce chapitre détaille le calcul d’une section rectangulaire en béton armé soumise à la flexion composée (ELU).

Notations

Géométrie

SymbolUnitéDescription
bmLargeur de la section
hmHauteur totale de la section
dmHauteur effective de la section
c1mDistance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers tendus
c2mDistance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers comprimés
xmPosition de l’axe neutre depuis la fibre la plus comprimée
As1Section d’acier tendue
As2Section d’acier comprimée
zRmBras de levier associé à MR

 

Efforts

SymbolUnitéDescription
NMNEffort normal appliqué sur la section béton armé
MMNmMoment fléchissant appliqué sur la section béton armé (au niveau de l’armature inf.)
McMNmMoment fléchissant reprit par le béton seul
NcMNEffort normal repris par le béton seul
Fs1MNEffort repris par l’armatures tendue
Fs2MNEffort repris par l’armatures comprimée
MRMNmMoment résistant de la section béton armé au-delà duquel il convient de disposer une armature comprimée pour faire travailler correctement l’armature tendue
NRMNEffort normal repris par le béton associé à MR

Contraintes

SymbolUnitéDescription
σs1MPaContrainte dans les aciers tendus
σs2MPaContrainte dans les aciers comprimés
σcMPaContrainte de compression dans le béton
fcdMPaContrainte admissible de compression du béton (valeur de calcul)
fckMPaContrainte admissible de compression du béton (valeur caractéristique)
fydMPaContrainte admissible de l’acier (valeur de calcul)
fykMPaContrainte admissible de l’acier (valeur caractéristique)

 

Déformations

SymbolUnitéDescription
εs1-Déformation de la section d’acier tendue
εs2-Déformation de la section d’acier comprimée
εc-Déformation du béton
εe-Déformation élastique maximale de l’acier

Principe du calcul à l’ELU

Le principe de dimensionnement d’une section à l’ELU est basé sur une analyse en déformations.

 

Hypothèses de calcul

Le calcul à l’ELU des sections en béton armé tient en compte des hypothèses suivantes :

Les lois de comportement du béton et de l’acier sont fournis dans le chapitre Matériaux de ce manuel.

Modes de fonctionnement de la section

Le dimensionnement optimisé d’une section béton armé exige un diagramme de déformations qui passe par une déformation limite, soit du béton, soit de l’acier. Ces déformations limites sont caractérisées par les pivots.

Trois pivots permettent de différencier le mode de fonctionnement de la section:

[1] Géométrie de la section béton armé
[2] Diagramme de déformations avec les 3 pivots

Notons x la position de l’axe neutre depuis la fibre la plus comprimée.

Si le diagramme passe au même temps par les pivots A et B, alors:

(14)x=εcuεcu+εudd=3.53.5+45d=0.072d

Les diagramme de déformations de la section peut se retrouver dans un des trois domaines définis par les pivots:

Section partiellement comprimée

En fonction de la position de l’axe neutre, 2 cas sont possibles :

Le diagramme de déformations de la section se trouve dans le domaine 2.

 

[1] Diagramme de déformations d'une section partiellement comprimée
[2] Diagramme de contraintes d'une section partiellement comprimée

Le raccourcissement de la fibre la plus comprimée est εc=3.5, ce qui correspond à une contrainte égale à fcd.

Le diagramme de contraintes comporte deux parties: une partie droite sur une hauteur égale à 3/7x et une partie de parabole sur une hauteur égale à 4/7x.

Cette répartition des hauteurs provient de l’allure de la loi de comportement du béton. Le diagramme de déformations étant linéaire sur la hauteur comprimée:

  • Les déformations du béton supérieures à 2‰ engendrent une contrainte égale à fcd.
  • Les déformations du béton inférieures à 2‰ suivent une distribution parabolique de contraintes variant entre 0 et fcd.

2‰ correspond à la déformation maximale du domaine élastique, soit 2/3.5=4/7 de la hauteur comprimée.

Effort normal et moment repris par le béton :

(15)Nc=0.81bxfcd
(16)Mc=0.81bxfcd(h0.416x)

La relation entre Mc et Nc peut être déduite des expressions précédentes:

(20)(15),(16)Mc=Nc(h0.514Ncbfcd)

 

Le diagramme de déformations de la section se trouve dans le domaine 1.

Le raccourcissement de la fibre la plus comprimée est inférieur à 3.5 ‰ et le diagramme peut avoir l’un des deux formes indiquées ci-dessous.

Diagramme de contraintes d'une section partiellement comprimée

Dans ce cas :

  1. Pour une valeur de x comprise entre 0 et 0.072d, la valeur du bras de levier des efforts z=Mc/Nc est comprise entre:

    z=d pour x=0

    z=0.97d pour x=0.072d

  2. La section de béton étant surabondante, il est inutile d’établir une armature comprimée.

Nous constatons que la variation relative du bras de levier est très faible et qu’il n’est pas nécessaire d’évaluer x avec grande précision, ce qui autorise l’emploi des relations (15), (16) et (20) comme dans le domaine 2.

Section entièrement comprimée

Le diagramme de déformations de la section se trouve dans le domaine 3 et passe par le pivot C.

Le diagramme de contraintes est composé d’une droite sur une hauteur totale égale à 3/7h et d’une parabole sur une hauteur total égale à 4/7h.

Diagramme de déformations (section entièrement comprimée)

L’état d’équilibre de la section est obtenu à partir de l’équilibre de forces et moments, permettant d’obtenir le diagramme de déformations associé au torseur appliqué.

 

Section entièrement tendue

Le diagramme de déformations ne provoque aucune compression sur la section, l’apport du béton en traction est donc négligé. Les efforts dans les armatures sont les seuls à équilibrer les efforts extérieurs.

Diagramme de déformations en entièrement en traction

Calcul des sections d’armature nécessaires

La formulation retenue dans Scage consiste à proposer une solution voisine de la solution la plus économique. Nous n’établirons pas, en principe, une armature si sa déformation relative est inférieure à la déformation élastique εe . Si cela n’est pas possible, l’effort repris par ces armatures sera minimisé.

 

Section partiellement comprimée

Une section est partiellement comprimée si les efforts N et M (calculé au niveau de l’armature inférieure) aboutissent à un diagramme de déformations composé d’une partie en compression et en traction.

Notons MR le moment équilibré par le béton.

Dans ce cas, pas nécessité d’armature comprimée car le moment est équilibré par le béton tout seul.

L’armature inférieure est tendue avec un allongement supérieur à εe, donc bien utilisée.

[1] Géométrie de la section béton armé
[2] Equilibre de forces

Le calcul d’équilibre permet de retrouver la section d’acier nécessaire en partie inférieure.

 

Dans ce cas, il convient de prévoir une armature comprimée pour garantir que l’armature tendue est bien utilisée et que la contrainte de béton n’excède pas la contrainte admissible.

Diagramme de déformations et équilibre de forces

Le calcul d’équilibre conduit aux sections d’acier nécessaires de chaque côté pour garantir que les efforts agissants sont correctement repris.

Section entièrement comprimée

Une section est entièrement comprimée si les efforts N et M (calculé au niveau de l’armature inférieure) engendrent un diagramme de déformations purement en compression (aucune zone en traction). Dans ce cas là, le diagramme de déformations passe par le point C.

Si la section comporte deux armatures, l’armature inférieure est la moins bien utilisée des deux puisqu’elle a le plus faible raccourcissement relatif. De ce fait, on cherchera à équilibrer les efforts sans établir d’armature inférieure.

Le calcul d’équilibre conduit aux sections d’acier nécessaires pour garantir que les efforts agissants sont correctement repris par les aciers et le béton.

 

Section en traction simple

La résistance en traction du béton est négligée. Seules les efforts des armatures compensent les efforts appliqués sur la section. La solution la plus économique consiste à garantir le centre de gravité des armatures au point d’application de l’effort normal.

Notons:

Les des sections d’acier sont obtenues par équilibre de moments:

(18)As2=Nes1(es1+es2)σs2
(19)As1=Nes2(es1+es2)σs1

Les contraintes dans les aciers sont considérées égales à σ=σ(εud).

Bibliographie