Section rectangulaire - Flexion composée (ELU)

Section rectangulaire - Flexion composée (ELU)NotationsGéométrieEffortsContraintesDéformationsPrincipe du calcul à l’ELUHypothèses de calculModes de fonctionnement de la sectionSection partiellement compriméeSection entièrement compriméeSection entièrement tendueCalcul des sections d’armature nécessairesSection partiellement compriméeSection entièrement compriméeSection en traction simpleBibliographie

Notations

Géométrie

Symbol	Unité	Description
b	m	Largeur de la section
h	m	Hauteur totale de la section
d	m	Hauteur effective de la section
$c_1$	m	Distance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers tendus
$c_2$	m	Distance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers comprimés
x	m	Position de l’axe neutre depuis la fibre la plus comprimée
$A_{s1}$	m²	Section d’acier tendue
$A_{s2}$	m²	Section d’acier comprimée
$z_R$	m	$M_R$

Efforts

Symbol	Unité	Description
$N$	MN	Effort normal appliqué sur la section béton armé
$M$	MNm	Moment fléchissant appliqué sur la section béton armé (au niveau de l’armature inf.)
$M_c$	MNm	Moment fléchissant reprit par le béton seul
$N_c$	MN	Effort normal repris par le béton seul
$F_{s1}$	MN	Effort repris par l’armatures tendue
$F_{s2}$	MN	Effort repris par l’armatures comprimée
$M_R$	MNm	Moment résistant de la section béton armé au-delà duquel il convient de disposer une armature comprimée pour faire travailler correctement l’armature tendue
$N_R$	MN	$M_R$

Contraintes

Symbol	Unité	Description
$\sigma_{s1}$	MPa	Contrainte dans les aciers tendus
$\sigma_{s2}$	MPa	Contrainte dans les aciers comprimés
$\sigma_c$	MPa	Contrainte de compression dans le béton
$f_{cd}$	MPa	Contrainte admissible de compression du béton (valeur de calcul)
$f_{ck}$	MPa	Contrainte admissible de compression du béton (valeur caractéristique)
$f_{yd}$	MPa	Contrainte admissible de l’acier (valeur de calcul)
$f_{yk}$	MPa	Contrainte admissible de l’acier (valeur caractéristique)

Déformations

Symbol	Unité	Description
$\varepsilon_{s1}$	-	Déformation de la section d’acier tendue
$\varepsilon_{s2}$	-	Déformation de la section d’acier comprimée
$\varepsilon_c$	-	Déformation du béton
$\varepsilon_e$	-	Déformation élastique maximale de l’acier

Principe du calcul à l’ELU

Le principe de dimensionnement d’une section à l’ELU est basé sur une analyse en déformations.

Hypothèses de calcul

Le calcul à l’ELU des sections en béton armé tient en compte des hypothèses suivantes :

Hypothèse 1: Les sections droites restent planes et il n’y a pas de glissement relatif entre les armatures et le béton. Le diagramme de déformation est donc linéaire.

Hypothèse 2: La résistance à la traction du béton est négligée.

Hypothèse 3: Le diagramme de déformations de la section correspond à un état-limite s’il passe par un des pivots A, B, C définis ci-dessous.

Les lois de comportement du béton et de l’acier sont fournis dans le chapitre Matériaux de ce manuel.

Modes de fonctionnement de la section

Le dimensionnement optimisé d’une section béton armé exige un diagramme de déformations qui passe par une déformation limite, soit du béton, soit de l’acier. Ces déformations limites sont caractérisées par les pivots.

Trois pivots permettent de différencier le mode de fonctionnement de la section:

Pivot A $\varepsilon_{ud}$ )
Pivot B $\varepsilon_{cu}$ )
Pivot C $\varepsilon_{ce}$ ) sur la hauteur comprimée du béton.

[1] Géométrie de la section béton armé

[2] Diagramme de déformations avec les 3 pivots

$x$ la position de l’axe neutre depuis la fibre la plus comprimée.

Si le diagramme passe au même temps par les pivots A et B, alors:

x=\frac{\varepsilon_{cu}}{\varepsilon_{cu}+\varepsilon_{ud}}d=\frac{3.5‰}{3.5‰+45‰}d=0.072d

Les diagramme de déformations de la section peut se retrouver dans un des trois domaines définis par les pivots:

Domaine 1 $0<x<0.072d$ → Section partiellement comprimée
Domaine 2 $0.072d\leq x<h$ → Section partiellement comprimée
Domaine 3 $h\leq x$ → Section entièrement comprimée

Section partiellement comprimée

En fonction de la position de l’axe neutre, 2 cas sont possibles :

$0.072d\leq x<h$

Le diagramme de déformations de la section se trouve dans le domaine 2.

[1] Diagramme de déformations d'une section partiellement comprimée

[2] Diagramme de contraintes d'une section partiellement comprimée

$\varepsilon_c=3.5‰$ $f_{cd}$ .

$3/7x$ $4/7x$ .

Cette répartition des hauteurs provient de l’allure de la loi de comportement du béton. Le diagramme de déformations étant linéaire sur la hauteur comprimée:
$f_{cd}$ .
$f_{cd}$ .
$2‰/3.5‰=4/7$ de la hauteur comprimée.

Effort normal et moment repris par le béton :

N_c=0.81bxf_{cd} \label{Nc}

M_c=0.81bxf_{cd}(h-0.416x) \label{Mc}

$M_c$ $N_c$ peut être déduite des expressions précédentes:

\eqref{Nc},\eqref{Mc} → M_c=N_c(h-0.514\frac{N_c}{bf_{cd}}) \label{McNcRelation}

$0<x<0.072d$

Le diagramme de déformations de la section se trouve dans le domaine 1.

Le raccourcissement de la fibre la plus comprimée est inférieur à 3.5 ‰ et le diagramme peut avoir l’un des deux formes indiquées ci-dessous.

Diagramme de contraintes d'une section partiellement comprimée

Dans ce cas :

$z=M_c/N_c$ est comprise entre:
$z=d$ $x=0$
$z=0.97d$ $x=0.072d$
La section de béton étant surabondante, il est inutile d’établir une armature comprimée.

$\eqref{Nc}$ $\eqref{Mc}$ $\eqref{McNcRelation}$ comme dans le domaine 2.

Section entièrement comprimée

Le diagramme de déformations de la section se trouve dans le domaine 3 et passe par le pivot C.

$3/7h$ $4/7h$ .

Diagramme de déformations (section entièrement comprimée)

L’état d’équilibre de la section est obtenu à partir de l’équilibre de forces et moments, permettant d’obtenir le diagramme de déformations associé au torseur appliqué.

Section entièrement tendue

Le diagramme de déformations ne provoque aucune compression sur la section, l’apport du béton en traction est donc négligé. Les efforts dans les armatures sont les seuls à équilibrer les efforts extérieurs.

Diagramme de déformations en entièrement en traction

Calcul des sections d’armature nécessaires

$\varepsilon_e$ . Si cela n’est pas possible, l’effort repris par ces armatures sera minimisé.

Section partiellement comprimée

Une section est partiellement comprimée si les efforts N et M (calculé au niveau de l’armature inférieure) aboutissent à un diagramme de déformations composé d’une partie en compression et en traction.

$M_R$ le moment équilibré par le béton.

$M\leq M_R$

Dans ce cas, pas nécessité d’armature comprimée car le moment est équilibré par le béton tout seul.

$\varepsilon_e$ , donc bien utilisée.

[1] Géométrie de la section béton armé

[2] Equilibre de forces

Le calcul d’équilibre permet de retrouver la section d’acier nécessaire en partie inférieure.

$M_R< M$

Dans ce cas, il convient de prévoir une armature comprimée pour garantir que l’armature tendue est bien utilisée et que la contrainte de béton n’excède pas la contrainte admissible.

Diagramme de déformations et équilibre de forces

Le calcul d’équilibre conduit aux sections d’acier nécessaires de chaque côté pour garantir que les efforts agissants sont correctement repris.

Section entièrement comprimée

Une section est entièrement comprimée si les efforts N et M (calculé au niveau de l’armature inférieure) engendrent un diagramme de déformations purement en compression (aucune zone en traction). Dans ce cas là, le diagramme de déformations passe par le point C.

Si la section comporte deux armatures, l’armature inférieure est la moins bien utilisée des deux puisqu’elle a le plus faible raccourcissement relatif. De ce fait, on cherchera à équilibrer les efforts sans établir d’armature inférieure.

Le calcul d’équilibre conduit aux sections d’acier nécessaires pour garantir que les efforts agissants sont correctement repris par les aciers et le béton.

Section en traction simple

La résistance en traction du béton est négligée. Seules les efforts des armatures compensent les efforts appliqués sur la section. La solution la plus économique consiste à garantir le centre de gravité des armatures au point d’application de l’effort normal.

Notons:

$e_{s1}$ distance entre le point d’application de l’effort normal et les armatures tendues
$e_{s2}$ distance entre le point d’application de l’effort normal et les armatures comprimées

Les des sections d’acier sont obtenues par équilibre de moments:

A_{s2}=\frac{Ne_{s1}}{\left(e_{s1}+e_{s2}\right)\sigma_{s2}}

A_{s1}=\frac{Ne_{s2}}{\left(e_{s1}+e_{s2}\right)\sigma_{s1}}

$\sigma=\sigma(\varepsilon_{ud})$ .

Bibliographie

Eurocode 2
Calcul en flexion simple ou composée à l’état limite ultime des sections rectangulaires en béton armé (A. CAPRA, M. HAUTCOEUR)
Calcul de structures en béton armé (Perchat)