Section rectangulaire - Flexion composée (ELS)

Section rectangulaire - Flexion composée (ELS)NotationsGéométrieEffortsContraintesPrincipe du calcul à l’ELSHypothèses de calculModes de fonctionnement de la sectionVérification de la section béton armé à l’ELSCalcul des sections d’armature nécessairesPartiellement et entièrement compriméeTraction simpleOuverture de fissures ( $w_k$ )Bibliographie

Notations

Géométrie

Symbol	Unité	Description
b	m	Largeur de la section
h	m	Hauteur totale de la section
$A_{s1}$	m²	Section d’acier inférieure
$A_{s2}$	m²	Section d’acier supérieure
$c_1$	m	Distance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers inférieurs
$c_2$	m	Distance entre le nu de la section et le centre de gravité des aciers supérieurs
$d_2$	m	$A_{s2}$ par rapport à la fibre inférieure de la section
$v’$	m	Position de G’ par rapport à la fibre inférieure de la section
G	-	Centre de gravité de la section rectangulaire
G’	-	Centre de gravité de la section homogénéisée

Efforts

Symbol	Unité	Description
$N_s$	MN	Effort normal appliqué à G
$M_s$	MNm	Moment fléchissant appliqué à G
$M$	MNm	Moment fléchissant équivalent appliqué sur la fibre inférieure inférieure de la section
$N$	MN	Effort normal équivalent appliqué sur la fibre inférieure inférieure de la section
$M'$	MNm	Moment fléchissant équivalent appliqué à G’
$N'$	MN	Effort normal équivalent appliqué à G’
$F_{s1}$	MN	Effort repris par l’armatures tendue
$F_{s2}$	MN	Effort repris par l’armatures comprimée

Contraintes

Symbol	Unité	Description
$\sigma_{s1}$	MPa	Contrainte dans les aciers tendus
$\sigma_{s2}$	MPa	Contrainte dans les aciers comprimés
$\sigma_c$	MPa	Contrainte de compression dans le béton
$f_{ck}$	MPa	Contrainte admissible de compression du béton (valeur caractéristique)
$f_{yd}$	MPa	Contrainte admissible de l’acier (valeur de calcul)
$f_{yk}$	MPa	Contrainte admissible de l’acier (valeur caractéristique)

Principe du calcul à l’ELS

Le principe de vérification d’une section à l’ELS est basé sur une analyse en contraintes.

Cette analyse en contraintes exige un calcul en section homogénéisée afin de considérer les différents modules de déformation de l’acier et du béton.

Hypothèses de calcul

Le calcul à l’ELS des sections en béton armé tient en compte des hypothèses suivantes :

Hypothèse 1 : La résistance à la traction du béton est négligée.
Hypothèse 2 : $\overline{\sigma_c}$ à l’ELS.

Hypothèse 3 : $\overline{\sigma_s}$ à l’ELS.

Les lois de comportement du béton et de l’acier sont fournies dans le chapitre Matériaux de ce manuel.

Modes de fonctionnement de la section

$M_s$ $N_s$ ), la section béton armé peut être en :

Compression simple: effort normal de compression et moment nul.

Diagramme de contraintes d'une section en compression simple

Partiellement comprimée: effort normal de compression et moment non nul.
Diagramme de contraintes d'une section partiellement comprimée
Entièrement comprimée: effort normal de compression et moment non nul.

Diagramme de contraintes d'une section entièrement comprimée

Entièrement tendue: effort normal de traction et moment non nul.

Diagramme de contraintes d'une section entièrement tendue

Vérification de la section béton armé à l’ELS

La vérification de la section béton armé à l’ELS se réalise en homogénéisant la section afin de prendre en compte la présence de deux matériaux de rigidités différentes. L’équilibre de la section est basé sur l’équilibre de forces et de moments, ce qui permet de retrouver le diagramme de contraintes de la section.

Dans le cas d’une section entièrement tendue, le béton n’apporte aucune résistance en traction. Les efforts des armatures sont les seuls à équilibrer les efforts extérieurs.

Calcul des sections d’armature nécessaires

Partiellement et entièrement comprimée

Le principe de dimenisonnement à l’ELS consiste à chercher la section minimale vérifiant l’équilibre de la section tout en garantisant le non dépassement des contraintes limites de chaque matériau.

Traction simple

En traction simple, la résistance en traction du béton est négligée. Seules les efforts des armatures compensent les efforts appliqués sur la section. La solution la plus économique consiste à garantir le centre de gravité des armatures au point d’application de l’effort normal.

Notons:

$e_{s1}$ distance entre le point d’application de l’effort normal et les armatures tendues
$e_{s2}$ distance entre le point d’application de l’effort normal et les armatures comprimées

Les des sections d’acier sont obtenues par équilibre de moments:

A_{s2}=\frac{Ne_{s1}}{\left(e_{s1}+e_{s2}\right)\sigma_{s2}}

A_{s1}=\frac{Ne_{s2}}{\left(e_{s1}+e_{s2}\right)\sigma_{s1}}

Les contraintes dans les aciers sont considérées égales à la contrainte admissible à l’ELS.

$w_k$ )

w_k=s_{r,max}\left(\varepsilon_{sm}-\varepsilon_{cm}\right)

Terme	Unité	Description
$w_k$	mm	Ouverture de fissures
$s_{r,max}$	mm	Espacement maximal des fissures
$\varepsilon_{sm}$	-	Allongement moyen des armatures, sous la combinaison d’actions considérée, tenant compte de la contribution du béton tendu
$\varepsilon_{cm}$	-	Allongement moyen du béton entre les fissures

s_{r,max}=k_3c+0.425k_1k_2\frac{\phi_{eq}}{\rho_{p,eff}}

Terme	Unité	Description
c	mm	Enrobage des armatures longitudinales
$k_1$	-	Coefficient fonction des proprétés d’adhhérence des barres (0.8 pour les barres HA)
$k_2$	-	$k_2 = 0.5$ $k_2 = 1$ $k_2=\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2\varepsilon_1}$ $\varepsilon_1$ $\varepsilon_2$ le plus faible des allongements relatifs des fibres etrêmes la section considérée, évalués sur la base d’une section fissuré.
$k_3$	-	Coefficient d’accompagnement de l’enrobage, égale à 3.4
$\phi_{eq}$	mm	Diamètre équivalent des barres
$\rho_{p,eff}$	-	$A_s/A_{c,eff}$ )
$A_{c,eff}$	m²	$h_{c,ef}=min\left\{2.5\left(h-d\right)\;;\;\left(h-x\right)/3\;;\;h/2\right\}$

\varepsilon_{sm}-\varepsilon_{cm}=max\left\{0.6\frac{\sigma_s}{E_s};\frac{\sigma_s+k_t{\displaystyle\frac{f_{ct,eff}}{\rho_{p,eff}}}\left(1+\alpha_e\rho_{p,eff}\right)}{E_s}\right\}

Terme	Unité	Description
$\sigma_s$	MPa	Contrainte à l’ELS des armatures tendues, calculée en supposant la section fisurée
$E_s$	MPa	Module élastique de l’acier
$f_{ct,eff}$	MPa	$f_{ct,eff}=f_{ctm}$ )
$k_t$	-	$k_t=0.6$ $k_t=0.4$ pour un chargement de longue durée

Bibliographie

Eurocode 2
Calcul en flexion simple ou composée à l’état limite ultime des sections rectangulaires en béton armé (A. CAPRA, M. HAUTCOEUR)
Calcul de structures en béton armé (Perchat)